Le mathématicien qui avait passé sept ans à travailler sur le déchiffrement d'une énigme finalement résolue par un amateur

Depuis des centaines d'années, les mathématiciens mettent leur intelligence à l'épreuve en s'attaquant à des problèmes mathématiques diaboliques que personne n'est parvenu à résoudre.

Ils y réfléchissent, en débattent et publient des articles à leur sujet. Les résoudre peut être un travail de toute une vie.

Mais le 13 avril de cette année, c'est l'intelligence artificielle (IA) qui a résolu un problème mathématique qui, jusqu'alors, avait résisté aux simples mortels : le problème 1196 d'Erdős.

Les experts du domaine ont été surpris et, bien sûr, très intéressés.

« Après avoir passé environ une heure à lire et à examiner les données brutes produites par l'IA, il m'est apparu très clairement qu'elle était correcte et que l'idée était excellente », déclare le mathématicien Jared Duker Lichtman de l'université de Stanford.

Lichtman travaillait sur cette énigme depuis sept ans, et elle venait d'être résolue par un passionné de mathématiques qui avait entré une simple requête dans une IA.

Mais quel est ce problème, et que signifierait pour les mathématiques sa résolution par l'IA ?

Si vous pensez déjà savoir où cette histoire va nous mener, rappelez-vous que dans le monde des mathématiques, les réponses sont souvent surprenantes.

Un génie voyageur

Les problèmes mathématiques non résolus sont auréolés d'un certain mystère.

Celui dont vous avez peut-être le plus souvent entendu parler est le dernier théorème de Fermat, qui est apparu dans une note manuscrite en marge d'une page de livre écrite par le mathématicien du XVIIe siècle Pierre de Fermat.

En plus de l'énigme qu'il a laissée à la postérité, il a écrit : « J'ai une solution, mais elle est trop longue pour tenir dans la marge. »

À notre connaissance, il a emporté cette solution dans sa tombe.

« Il a fallu plusieurs centaines d'années avant que ce problème ne soit finalement résolu en 1994, et le mathématicien qui l'a résolu a utilisé des branches des mathématiques qui n'existaient même pas à l'époque de Fermat », explique la mathématicienne Katie Steckles.

Et il y en a bien d'autres, aux noms parfois étranges : la conjecture de Collatz, l'hypothèse de Riemann, les problèmes de Hilbert et les problèmes du millénaire…

« Oh, il y en a des tas ! » s'exclame Steckles. « Et nous en découvrons de nouvelles chaque jour. Chaque branche des mathématiques a ses grandes questions. »

Parmi tous ces défis figure un vaste ensemble connu sous le nom de problèmes d'Erdős, posés par l'un des esprits les plus prolifiques et les plus affables des mathématiques.

Le Hongrois Paul Erdős (1913-1996) était un génie extraordinaire, non seulement pour les vastes contributions qu'il a apportées aux mathématiques, mais aussi pour son style de vie.

Il n'a jamais possédé de maison ni d'autres biens qu'une valise à moitié vide, car ce qu'il voulait être, c'était un touriste mathématique, voyageant partout dans le monde où il se passait quelque chose d'intéressant et où il y avait de la place pour réfléchir et partager des idées.

Durant ses décennies d'errance mathématique, il a non seulement posé plus de 1 200 problèmes, mais en a également résolu un grand nombre et a trouvé des preuves étonnamment simples pour des théorèmes que l'on croyait résolus.

Le problème

En 2023, ce nombre extraordinaire de problèmes a été compilé sur un site web afin que les mathématiciens puissent voir lesquels ils devaient résoudre et partager leurs démonstrations.

« La première fois que j'ai entendu parler de la conjecture des ensembles primitifs d'Erdős, c'était lors de ma dernière année d'université », se souvient Lichtman.

« Et je suis complètement tombée amoureuse du problème. »

Les problèmes d'Erdős qui nous intéressent dans cette histoire ont trait aux ensembles primitifs.

Vous connaissez probablement les nombres premiers, des nombres entiers qui ne peuvent être divisés exactement que par eux-mêmes et par 1. Un ensemble primitif est un peu comme cela : les nombres sont choisis de sorte qu'aucun d'eux ne soit exactement divisible par un autre, bien qu'ils ne soient pas nécessairement premiers.

Par exemple, 4, 5 et 6 forment un ensemble primitif : on ne peut pas diviser 4 par 5 ou par 6 et obtenir un nombre entier. Il en va de même pour 5 et 6.

Et nous n'avons pas besoin d'approfondir davantage les mathématiques de ces problèmes d'Erdős : tout le reste est trop compliqué.

Revenons donc à notre histoire.

« Pendant mon temps libre et la nuit, je n'arrêtais pas de penser à ce problème et je n'arrivais pas à m'en détacher. Et j'ai finalement réussi à le résoudre après 4 ans de refus d'abandonner », raconte Lichtman.

Ce qu'il avait mis toutes ces années à résoudre, c'était le problème 164 d'Erdős, qui servirait plus tard de base à sa thèse de doctorat.

Mais ce n'était pas le seul qui l'intéressait. Il y avait un groupe d'autres problèmes d'Erdős apparentés, dont le problème 1196.

J'avais moi aussi pensé à lui pendant tout ce temps.

« Que se passe-t-il si tous les nombres d'un ensemble primitif sont supérieurs à X et que nous voulons comprendre comment leur score peut croître lorsque X tend vers l'infini ? »

Et il continua à y réfléchir et à travailler sur le problème pendant encore trois ans.

Jusqu'à ce qu'un matin, il se réveille et trouve un courriel sur son ordinateur.

Il a indiqué qu'un mathématicien amateur avait soumis ce problème à GPT-5.4 Pro, un modèle d'intelligence artificielle, et avait obtenu des résultats qui, selon lui, pourraient constituer une solution.

« J'ai commencé à lire ce que j'avais produit. Le résultat semblait très préliminaire et très peu structuré », se souvient-il.

La preuve avait été obtenue par Liam Price, un Britannique de 23 ans qui ne possédait pas de diplôme universitaire en mathématiques.

« J'ai utilisé une IA d'OpenAI pour résoudre le problème 1196 d'Erdős », a-t-il déclaré.

« J'ai imaginé une question astucieuse , je l'ai soumise à l'IA, et après environ 80 minutes de réflexion, elle m'a donné une solution. Ensuite, je l'ai transmise à une autre version du modèle et j'ai dit : "Voici la solution. Pouvez-vous la vérifier et confirmer qu'elle est correcte ?" Et la réponse a été qu'en substance, elle n'avait trouvé aucune erreur dans le raisonnement », a-t-il ajouté.

Lichtman était à la fois perplexe et heureux.

Connaissance

L'IA avait déjà permis de résoudre d'autres problèmes d'Erdős — en fait, plusieurs dizaines. Mais beaucoup d'entre eux étaient des problèmes relativement simples et peu connus.

Le problème 1196 était différent. Non seulement il avait posé problème aux mathématiciens pendant des décennies, mais GPT-5.4 Pro avait trouvé une nouvelle approche pour le résoudre, une méthode qui semblait avoir été négligée dans la littérature mathématique pendant des décennies. Et cette méthode a permis de résoudre non seulement le problème 1196, mais aussi d'autres problèmes connexes.

Lichtman n'était pas dérangé qu'un modèle d'IA ait franchi la ligne d'arrivée avant lui : « Si un autre mathématicien résout un problème qui vous intéresse, je ne pense pas que quiconque vous demandera si cela vous dérange », explique-t-il.

« On souhaite simplement connaître la réponse et y avoir accès, peu importe comment elle a été obtenue », ajoute-t-il.

De plus, l'IA avait besoin de quelqu'un comme Lichtman, qui comprenait les mathématiques si profondément qu'il pouvait voir ce résultat brut et se rendre compte qu'il y avait là quelque chose de précieux.

« J'étais immédiatement très content et, en fait, j'ai commencé à travailler sur ces autres groupes problématiques pour voir si je pouvais appliquer cette idée », dit-il.

D'autres avancées ont rapidement suivi. Quelques semaines plus tard, un modèle d'OpenAI a réfuté une conjecture d'Erdős restée irrésolue pendant près de 80 ans.

Et le 1er août, la société a annoncé dix nouvelles avancées dans la résolution de problèmes mathématiques de longue date, développées grâce à la contribution de mathématiciens qui ont aidé à analyser, développer et formaliser les résultats.

« Je pense que nous sommes arrivés au point où l'IA peut apporter des idées et des perspectives, tout comme le ferait un collègue de confiance, et que parfois ces idées porteront effectivement leurs fruits », note Lichtman.

« Nous sommes à un stade où l'IA commence à fonctionner, d'une certaine manière, comme une sorte de collaborateur avec lequel échanger des idées et recevoir des commentaires. »